Дивергенция — Околонаучные заметки

Представьте себе бассейн, в котором постоянно происходит очищение воды. Вообще это распространённая практика в бассейнах, когда насос постоянно выкачивает воду, очищает от примесей и закачивает обратно таким образом, чтобы количество воды в бассейне всегда оставалось на одном уровне. Понятно, что уравнение баланса для такого бассейна имеет вид

M^{вх} - M^{вых} = 0

(1)

где $M^{вх}$ — количество втекающей после очистки воды, $M^{вых}$ — количество вытекающей грязной воды.

Что такое количество воды? Это по сути произведение потока на площадь, через которую этот поток проходит, например, для произвольного прямоугольника площадью $\Delta x \cdot \Delta y$ поток будет определяться формулой

F = \dfrac{M}{\Delta x \cdot \Delta y}

(2)

Давайте теперь подумаем над более сложным примером. У нас есть прямоугольный параллелепипед воды размером $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ , через грани которого вода может втекать или вытекать. Тогда уравнение баланса видоизменится

(M_x^{вх} - M_x^{вых}) + (M_y^{вх} - M_y^{вых}) + (M_z^{вх} - M_z^{вых}) = 0

(3)

где $M_i^{вх} - M_i^{вых}, \space i \in (x, y, z)$ — разность входного и выходного количества воды через грани параллелепипеда.

Разность или расхождение и есть по сути дивергенция, но пока мы ещё не совсем докрутили её, так что движемся дальше. Давайте введём понятие разности потоков

\Delta F_i = F_i^{вх} - F_i^{вых}, \space i \in (x, y, z)

(4)

С учётом формулы (2) и (4) перепишем формулу (3) к следующему виду

\Delta F_x \cdot \Delta y \Delta z + \Delta F_y \cdot \Delta x \Delta z + \Delta F_z \cdot \Delta x \Delta y = 0

(5)

Теперь преобразуем полученную формулу к следующему виду

\left( \dfrac{\Delta F_x}{\Delta x} + \dfrac{\Delta F_y}{\Delta y} + \dfrac{\Delta F_z}{\Delta z} \right) \cdot \Delta x \Delta y \Delta z = 0

(6)

Теперь мы должны разбить параллелепипед на огромное (потенциально бесконечное) число примитивов, размеры которых очень маленькие (потенциально нулевой), а далее просуммировать результаты по всем примитивам.

\lim\limits_{n \to \infty}\lim\limits_{m \to \infty}\lim\limits_{l \to \infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^m\displaystyle\sum_{k=1}^l\left(\lim\limits_{\Delta x_i \to 0}\lim\limits_{\Delta y_j \to 0}\lim\limits_{\Delta z_k \to 0}\left(\left( \dfrac{\Delta F_{xi}}{\Delta x_i} + \dfrac{\Delta F_{yj}}{\Delta y_j} + \dfrac{\Delta F_{zk}}{\Delta z_k} \right) \cdot \Delta x_i \Delta y_j \Delta z_k\right)\right)\right) = 0

(7)

Перейдём от сумм к интегралам

\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} \displaystyle\int_{y_1}^{y_2} \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} \left(\dfrac{\partial F_{x}}{\partial x} + \dfrac{\partial F_{y}}{\partial y} + \dfrac{\partial F_{z}}{\partial z} \right) \partial x \partial y \partial z = 0

(8)

Когда же этот интеграл будет равен нулю? Очевидно, когда воды втекает столько, сколько и вытекает из нашего параллелепипеда, то есть в данном объёме нет ни источников, ни утечек. Течение жидкости — это по сути векторное поле, и мы только что получили характеристику этого поля, которая в конкретной точке говорит нам о том, есть ли там источники или потребители. А характеристика эта называется дивергенцией и определяется формулой

div \bold{F} = \dfrac{\partial F_{x}}{\partial x} + \dfrac{\partial F_{y}}{\partial y} + \dfrac{\partial F_{z}}{\partial z}

(9)

Можно сказать, что дивергенция вычисляет скалярное поле по векторному. Ну а на практике с помощью дивергенции определяют источники поля, например, одно из уравнений Максвелла для вакуума выглядит так

div \bold{E} = \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x} + \dfrac{\partial E_{y}}{\partial y} + \dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}

(10)

где $\bold{E} = (E_x, E_y, E_z)$ — вектор напряжённости, $\rho$ — плотность электрического заряда, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Удобно записывать дивергенцию как скалярное произведение оператора набла на вектор исходного поля

div \bold{F} = \nabla \cdot \bold{F}

(11)