Когда мы рассматривали дивергенцию, то пришли к пониманию того, что она позволяет по векторному полю получить скалярное, например по векторам напряжённости электрического поля получить распределение заряда. Градиент же по сути позволяет наоборот из скалярного поля получить векторное. Давайте порассуждаем на эту тему.

Что такое производная, всем понятно, например, для функции $f(x)$ производная будет выглядеть как $g(x) = f^{\prime}(x)$, то есть представлять собой тоже функцию того же аргумента. А смысл такой — показать степень изменения значения функции. В трёхмерном пространстве функция зависит от трёх аргументов, соответственно, в конкретной точке производная тоже должна зависеть от трёх аргументов. Это всё хорошо, возьмём частные производные, а дальше что, сложить их или умножить?

О чём говорит отрицательная производная? О том же, о чём говорит отрицательное ускорение — скорость начинает падать, то есть она может быть и не меньше нуля, но падает. Так вот производная для функции одной переменной показывает, растёт функция или падает, то есть показывает направление изменения. Это важно! В трёхмерном пространстве мы должны тоже знать направление изменения. То есть из частных производных сформируем вектор, который и называется градиентом.

где $(\bold{i}, \bold{j}, \bold{k})$ — направляющие векторы системы координат.

Удобно записывать градиент как оператор набла от значения скалярного поля в точке