Оператор Лапласа

Давайте порассуждаем о такой задачке, как нагрев прямоугольного параллелепипеда. Ну вот внутри него есть какой-то источник и он разогревает всю конструкцию. Может быть, это обычная печка-буржуйка. Представили? Такая ржавая бандура, внутри которой горят дровишки и нам тепло. Хотим мы рассчитать тепловое поле этой всей конструкции.

Что такое температура? Это по сути величина, пропорциональная квадрату средней скорости частиц. Получается, что кинетическая энергия частиц вещества пропорциональна произведению температуры на массу. Ну вот, мы приходим ко всем известной формуле из термодинамики, которая связывает количество теплоты ΔQ1\Delta Q_1, необходимое для изменения температуры ΔT\Delta T

ΔQ1=c⋅ρ⋅V⋅ΔT\Delta Q_1 = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta T
(1)

где cc — теплоёмкость, ρ\rho — плотность, VV — объём.

Но это статика всё, а нам нужно бы добавить динамики в формулу. Для этого рассмотрим поступление и расход энергии за промежуток времени Δt\Delta t. Энергия поступает от сгорания дров и мощность горения можно обозначить f(x,y,z,t)f(x,y,z, t). Тогда количество энергии от горения можно обозначить следующей формулой

ΔQ2=c⋅ρ⋅f(x,y,z,t)⋅Δt\Delta Q_2 = c \cdot \rho \cdot f(x,y,z, t) \cdot \Delta t
(2)

Куда расходуется энергия? Очевидно, что расходуется она на нагрев окружающей среды через грани параллелепипеда. Давайте анализировать температуру TT в некоторой среднегеометрической точке параллелепипеда. Так как параллелепипед симметричен, давайте рассмотрим энергию по одной координате xx и затем обобщим на остальные две. Понятно, что поток энергии через грань будет пропорционален площади грани Δy⋅Δz\Delta y \cdot \Delta z и обратно пропорционален длине грани Δx\Delta x. Тогда с точностью до коэффициента пропорциональности kk справедлива следующая формула

ΔQ3=k⋅Δy⋅Δz⋅Tx−TΔxΔt+k⋅Δy⋅Δz⋅Tx+Δx−TΔxΔt=k⋅V⋅Tx+Δx−2⋅T+TxΔx⋅ΔxΔt\Delta Q_3 = k \cdot \Delta y \cdot \Delta z \cdot \dfrac{T_{x} - T}{\Delta x} \Delta t + k \cdot \Delta y \cdot \Delta z \cdot \dfrac{T_{x + \Delta x} - T}{\Delta x} \Delta t = k \cdot V \cdot \dfrac{T_{x + \Delta x} - 2 \cdot T + T_{x}}{\Delta x \cdot \Delta x} \Delta t
(3)

Из закона сохранения энергии следует

ΔQ1=ΔQ2+ΔQ3\Delta Q_1 = \Delta Q_2 + \Delta Q_3
(4)

После подстановки, добавления в формулу ΔQ3\Delta Q_3 остальных двух граней и очевидных преобразований, получим

ΔTΔt=kcρ⋅(Tx+Δx−2⋅T+TxΔx2+Ty+Δy−2⋅T+TyΔy2+Tz+Δz−2⋅T+TzΔz2)+f(x,y,z,t)\dfrac{\Delta T}{\Delta t} = \dfrac{k}{c \rho} \cdot \left( \dfrac{T_{x + \Delta x} - 2 \cdot T + T_{x}}{\Delta x^2} + \dfrac{T_{y + \Delta y} - 2 \cdot T + T_{y}}{\Delta y^2} + \dfrac{T_{z + \Delta z} - 2 \cdot T + T_{z}}{\Delta z^2} \right) + f(x,y,z, t)
(5)

Устремляя промежуток времени и размеры параллелепипеда к нулю, получаем уравнение в частных производных

dTdt=a2⋅(∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2)+f(x,y,z,t)\dfrac{dT}{dt} = a^2 \cdot \left( \dfrac{\partial^ 2 T}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^ 2 T}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^ 2 T}{\partial z^2} \right) + f(x,y,z, t)
(6)

где aa — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом температуропроводности.

Нас больше интересует не суть уравнения теплопроводности, а величина, которая получилась справа. Это по сути двойная частная производная, которая может быть представлена как дивергенция градиента. То есть мера, определяющая в каждой точке, как быстро утекает энергия.

ΔT=div grad T\Delta T = div \space grad \space T
(7)

где Δ\Delta — так называемый оператор Лапласа.

Иногда выгодно обозначить оператор Лапласа как скалярное произведение операторов набла, то есть

Δ=∇⋅∇\Delta = \nabla \cdot \nabla
(8)

С учётом всего сказанного, уравнение теплопроводности можно переписать к следующему виду

dTdt=a2⋅ΔT+f(x,y,z,t)\dfrac{dT}{dt} = a^2 \cdot \Delta T + f(x,y,z, t)
(9)