Одномерная краевая задача теплопроводности

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности на отрезке от $\alpha$ до $\beta$. Уравнение теплопроводности (1.8$\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \Delta T(M, t)$ $\displaystyle + f(M, t),$) в этом случае принимает вид

Краевые условия Дирихле (1.13$\displaystyle T(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t)$ $= \widehat{T}(x,t)$ $+ U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t)$ $= a_1(t)$ $+ a_2(t) \cdot x$ и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.2$\displaystyle \widehat{T}(M, t)$ $\displaystyle + U(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad \widehat{T}(M, t)$ $\displaystyle = 0 \;$ $\displaystyle \Rightarrow\; U(M, t)$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$)

Тогда уравнение (2.23$\displaystyle \frac{\partial T(x, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}$ $\displaystyle + f(x, t).$) и краевые условия (2.24$\displaystyle T(x, 0)$ $\displaystyle = T_0(x),$$\displaystyle T(\alpha, t)$ $\displaystyle = \Phi_\alpha(t),$$\displaystyle T(\beta, t)$ $\displaystyle = \Phi_\beta(t)$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t)$ $= f(x, t)$ $- \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt}$ $- \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x$.

Краевые условия Неймана (1.14$\displaystyle \lambda \cdot \frac{\partial T(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S,$) в одномерном случае имеют вид

Для избавления от неоднородности введем $T(x,t)$ $= \widehat{T}(x,t)$ $+ U(x,t)$, выберем функцию $U(x,t)$ $= a_1(t) \cdot x$ $+ a_2(t) \cdot x^2$ и вычислим коэффициенты, в соответствии с (2.3$\displaystyle \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle + \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad \frac{\partial \widehat{T}(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = 0 \;$ $\displaystyle \Rightarrow\; \frac{\partial U(M, t)}{\partial \overrightarrow{n}}$ $\displaystyle = \Phi(M, t), \quad M$ $\displaystyle \in S.$)

Тогда уравнение (2.23$\displaystyle \frac{\partial T(x, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}$ $\displaystyle + f(x, t).$) и краевые условия (2.28$\displaystyle T(x, 0)$ $\displaystyle = T_0(x),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha}$ $\displaystyle = \Phi_\alpha(t),$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta}$ $\displaystyle = \Phi_\beta(t)$) примут вид

где $\widehat{f}(x, t)$ $= f(x, t)$ $- \frac{\displaystyle da_1(t)}{\displaystyle dt} \cdot x$ $- \frac{\displaystyle da_2(t)}{\displaystyle dt} \cdot x^2$ $+ 2 \cdot a^2 \cdot a_2(t)$.

Уравнение (2.8$\displaystyle \Delta \Psi(M)$ $\displaystyle + \gamma^2 \cdot \Psi(M)$ $\displaystyle = 0.$) примет вид

Общее решение этого уравнения имеет вид

где $c_1$ и $c_2$ — коэффициенты, определяемые из граничных условий, а вес, обеспечивающий ортогональность собственных функций, $\rho(x)$ $= 1$.

Подставим общее решение в граничные условия (2.27$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2}$ $\displaystyle + \widehat{f}(x, t),$$\displaystyle \widehat{T}(x, 0)$ $\displaystyle = T_0(x)$ $\displaystyle - a_1(0)$ $\displaystyle - a_2(0) \cdot x,$$\displaystyle \widehat{T}(\alpha, t)$ $\displaystyle = 0, \widehat{T}(\beta, t)$ $\displaystyle = 0,$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_1$ $= 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $c_2$ $\neq 0$, что возможно только тогда, когда $\sin[\gamma \cdot (\beta - \alpha)]$ $= 0$

Нулевое и отрицательные значения $n$ не годятся: при $n$ $= 0$ имеем $\gamma$ $= 0$, и $\Psi(x)$ $= c_2 \cdot \sin[0 \cdot (x - \alpha)]$ $\equiv 0$ — тождественный нуль, не являющийся собственной функцией; отрицательным же $n$ отвечает то же собственное значение $\gamma^2$ (ведь $\gamma_{-n}$ $= -\gamma_n$), а $\sin[-\gamma_n \cdot (x - \alpha)]$ $= -\sin[\gamma_n \cdot (x - \alpha)]$ линейно зависимо с решением для положительного $n$ и нового вклада не даёт. Поэтому $n$ $\in (1..\infty)$.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{2n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{2n}$ $= 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Для разложения функций в ряд Фурье по $\Psi_n(x)$ необходимо вычислить норму $\|\Psi_n(x)\|^2$, вес для декартовых координат $\rho(x)$ $= 1$.

Теперь подставим решение в граничные условия (2.31$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x^2}$ $\displaystyle + \widehat{f}(x, t),$$\displaystyle \widehat{T}(x, 0)$ $\displaystyle = T_0(x)$ $\displaystyle - a_1(0) \cdot x$ $\displaystyle - a_2(0) \cdot x^2,$$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\alpha}$ $\displaystyle = 0, \frac{\displaystyle \partial \widehat{T}(x, t)}{\displaystyle \partial x} \bigg|_{x=\beta}$ $\displaystyle = 0,$) и получим

Понятно, что из первого уравнения $c_2$ $= 0$ и решение имеет смысл только тогда, когда $\sin[\gamma_n \cdot (\beta - \alpha)]$ $= 0$

Здесь, в отличие от задачи Дирихле, мода $n$ $= 0$ сохраняется: при $\gamma_0$ $= 0$ собственная функция $\Psi_0(x)$ $= c_{10} \cdot \cos[0 \cdot (x - \alpha)]$ $= c_{10}$ — ненулевая постоянная, то есть полноценная собственная функция (постоянная мода). Поэтому индексация начинается с нуля.

Таким образом, собственные значения и собственные функции имеют вид

где $c_{1n}$ — произвольный постоянный множитель: собственная функция определена с точностью до него. Положим $c_{1n}$ $= 1$ — этот множитель всё равно вбирается в коэффициенты разложения $T_{0n}$ и $f_n$, как и в общем решении.

Норму собственных функций вычислим так же, как для случая с синусом, понизив степень косинуса по формуле половинного угла. Для $n$ $\ge 1$

поскольку интеграл от косинуса по целому числу полупериодов равен нулю: $\sin \left[ 2 \cdot \gamma_n \cdot (\beta - \alpha) \right]$ $= \sin(2 \cdot \pi \cdot n)$ $= 0$. Особый случай $n$ $= 0$ (при $\gamma_0$ $= 0$ собственная функция $\Psi_0(x)$ $= 1$) вычислим отдельно

Финальное решение одномерной краевой задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями примет вид

В задаче Неймана, в отличие от Дирихле, спектр содержит нулевую моду ($\gamma_0$ $= 0$, $\Psi_0(x)$ $= 1$) — случай $\gamma_n$ $= 0$, который в общем решении (2.18$\displaystyle T(M)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG, \quad \gamma_n$ $\displaystyle \neq 0.$) был оставлен для отдельного рассмотрения; именно она даёт первое (незатухающее) слагаемое. Финальное решение одномерной краевой задачи Неймана с неоднородными граничными условиями примет вид

Чтобы получить стационарные решения, устремим в найденных решениях время к бесконечности ($t$ $\to \infty$), как это сделано для общего случая в (2.18$\displaystyle T(M)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \Psi_n(M)}{\displaystyle \|\Psi_n(M)\|^2} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^2 \cdot \gamma_n^2} \cdot \iiint_G \rho(M) \cdot f(M) \cdot \Psi_n(M) \,dG, \quad \gamma_n$ $\displaystyle \neq 0.$). Слагаемое с начальным условием занулится, поскольку $e^{- a^2 \cdot \gamma_n^2 \cdot t}$ $\to 0$; источники и граничные условия перестают зависеть от времени, а интеграл по времени для $\gamma_n$ $\neq 0$ даёт множитель $\frac{1}{a^2 \cdot \gamma_n^2}$:

Стационарное решение одномерной краевой задачи Дирихле примет вид

Стационарное решение одномерной краевой задачи Неймана не такое простое. В отличие от задачи Дирихле, чисто неймановская стационарная задача разрешима не всегда. Приведённая функция $\widehat{T}$ удовлетворяет однородным условиям Неймана $\widehat{T}'(\alpha)$ $= \widehat{T}'(\beta)$ $= 0$ и стационарному уравнению $a^2 \cdot \widehat{T}''(x)$ $+ \widehat{f}(x)$ $= 0$. Проинтегрируем его по отрезку $[\alpha, \beta]$:

Граничный член обратился в нуль в силу однородных условий Неймана, и осталось условие разрешимости (2.22$\displaystyle \iiint_G f(M) \,dM$ $\displaystyle = - a^2 \cdot \iint_S \Phi(M) \,dS,$): $\int_\alpha^\beta \widehat{f}(\omega) \,d\omega$ $= 0$ — суммарный приведённый источник должен обращаться в нуль (иначе тепло накапливается, среднее неограниченно растёт и стационара нет). При выполнении этого условия решение определяется лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной $C$: ей отвечает нулевая мода ($\gamma_0$ $= 0$, $\Psi_0(x)$ $= 1$), амплитуда которой стационарным уравнением не фиксируется. С этой оговоркой решение примет вид