Магнитное поле 2D

Рассмотрим магнитостатику — стационарное поле прямоугольного постоянного магнита, однородно намагниченного ($\mathbf{M}$​${} = \text{const}$). Свободных токов нет, поэтому поле потенциально: $\nabla \times \mathbf{H}$​${} = 0$, откуда $\mathbf{H}$​${} = -\nabla \varphi$. Подставляя это в условие $\nabla \cdot \mathbf{B}$​${} = 0$ при $\mathbf{B}$​${} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})$, получаем для скалярного потенциала одно эллиптическое уравнение (с оператором Лапласа) и условие Дирихле на внешней границе — поле затухает вдали

Слева — оператор Лапласа ($\nabla^2$​${} = \Delta$). Правая часть — источник $\sigma$​${} = \nabla \cdot \mathbf{M}$: у однородного магнита внутри он равен нулю, а на полюсных гранях даёт связанный поверхностный заряд (по сути — нормальный «поток» намагниченности $\mathbf{M} \cdot \mathbf{n}$), который зависит от того, на какой грани мы находимся

Уравнение (7.3$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial^2 \varphi}{\displaystyle \partial x^2}$​$\displaystyle {} + \frac{\displaystyle \partial^2 \varphi}{\displaystyle \partial y^2}$​$\displaystyle {} = \sigma(x, y),$$\displaystyle (x, y)$ $\displaystyle {} \in \Omega,$$\displaystyle \varphi\big|_{\partial \Omega}$ $\displaystyle {} = 0.$) — уравнение Пуассона, то есть эллиптическая краевая задача; об эллиптических уравнениях и сведении к ним нестационарных задач — в приложении N. Решаем её численно методом конечных элементов на треугольной сетке: слабая форма $\int_\Omega \nabla \varphi \cdot \nabla v \, d\Omega$​${} = \int_{\text{магнит}} \mathbf{M} \cdot \nabla v \, d\Omega$.