Матрица демпфирования 1D — Метод конечных элементов

Теперь вычислим матрицу демпфирования для одномерного случая. Матрица демпфирования связана с интегралом квадрата пробной функции. Рассмотрим интеграл для одного отрезка с вершинами $x_i, x_{i+1}$

\int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon^2 \,dx.

(6.20)

Пробная функция на отрезке имеет вид $\upsilon_{(i)(i+1)}(x)$ $= q_i \cdot \phi_i(x)$ $+ q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x)$ . Примем во внимание (5.7) и (5.8) из раздела о функциях «крышек» и запишем соотношения для функций «крышек»

\displaystyle \phi_i(x)

\displaystyle = a_i

\displaystyle + b_i \cdot x

\displaystyle \phi_{i+1}(x)

\displaystyle = a_{i+1}

\displaystyle + b_{i+1} \cdot x

(6.21)

Подставим пробную функцию в (6.20)

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = \int_{x_i}^{x_{i+1}} \left[ q_i \cdot (a_i + b_i \cdot x) + q_{i+1} \cdot (a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x) \right]^2 \,dx.

Учитывая (5.8), можно записать

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \cdot \int_{x_i}^{x_{i+1}} \left[(-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) + (q_i - q_{i+1}) \cdot x \right]^2 \,dx.

Раскроем квадрат и разделим интеграл на три части

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \cdot \Big[ \int_{x_i}^{x_{i+1}} (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i)^2 \,dx + 2 \cdot \int_{x_i}^{x_{i+1}} (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) \cdot (q_i - q_{i+1}) \cdot x \,dx + \int_{x_i}^{x_{i+1}} (q_i - q_{i+1})^2 \cdot x^2 \,dx \Big]

Вычислим каждый из трёх интегралов

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = \frac{\displaystyle (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i)^2 \cdot x}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}

\displaystyle + \frac{\displaystyle (-q_i \cdot x_{i+1} + q_{i+1} \cdot x_i) \cdot (q_i - q_{i+1}) \cdot x^2}{\displaystyle (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}

\displaystyle + \frac{\displaystyle (q_i - q_{i+1})^2 \cdot x^3}{\displaystyle 3 \cdot (x_i - x_{i+1})^2} \bigg|_{x_i}^{x_{i+1}}.

После упрощения получаем

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = - \frac{\displaystyle (q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2) \cdot (x_i - x_{i+1})^2}{\displaystyle 3 \cdot (x_i - x_{i+1})}

\displaystyle = \frac{\displaystyle x_{i+1} - x_i}{\displaystyle 3} \cdot (q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2).

Введём обозначение длины отрезка

\displaystyle \int_{x_i}^{x_{i+1}} \upsilon_{(i)(i+1)}^2 \,dx

\displaystyle = \frac{l_{(i)(i+1)}}{3} \cdot \left[ q_i^2 + q_i \cdot q_{i+1} + q_{i+1}^2 \right],

где $l_{(i)(i+1)}$ $= x_{i+1}$ $- x_i$ — длина отрезка.

Введём обозначения для элементов локальной матрицы демпфирования отрезка

\begin{split} &c_{(i)(i)} = \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 3}\\ &c_{(i+1)(i+1)} = \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 3}\\ &c_{(i)(i+1)} = c_{(i+1)(i)} = \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 6} \end{split}

(6.22)

Таким образом, локальная матрица демпфирования для одномерного элемента имеет вид

\begin{aligned}\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{(i)(i)} & c_{(i)(i+1)}\\ c_{(i+1)(i)} & c_{(i+1)(i+1)} \end{bmatrix} = \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 6} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}.\end{aligned}

(6.23)

Глобальная матрица демпфирования $\mathbf{C}$ получается путём суммирования вкладов от всех отрезков сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы демпфирования равна $N \times N$ , где $N$ — общее количество узлов сетки.

Например, рассмотрим сетку с узлами $0, 1, \ldots, i, i$ $+1, \ldots, N$ . При сборке каждый отрезок $(j)(j+1)$ добавляет на диагональ вклад $\frac{\displaystyle l_{(j)(j+1)}}{\displaystyle 3}$ , а на смежные внедиагональные элементы — $\frac{\displaystyle l_{(j)(j+1)}}{\displaystyle 6}$ ; внутренний узел $i$ получает диагональный вклад сразу от двух смежных отрезков — $(i-1)(i)$ и $(i)(i+1)$ , — поэтому на главной диагонали стоит сумма $\frac{\displaystyle l_{(i-1)(i)}}{\displaystyle 3}$ $+ \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 3}$ . Поскольку длина $l_{(j)(j+1)}$ зависит от номера отрезка, её нельзя вынести как общий множитель — каждый элемент глобальной матрицы хранит длину своего отрезка. В результате матрица получается трёхдиагональной

\displaystyle \mathbf{C}

\displaystyle = \begin{bmatrix} \frac{\displaystyle l_{(0)(1)}}{\displaystyle 3} & \frac{\displaystyle l_{(0)(1)}}{\displaystyle 6} & 0 & \cdots & & & 0\\ \frac{\displaystyle l_{(0)(1)}}{\displaystyle 6} & \frac{\displaystyle l_{(0)(1)}}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 3} & \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 6} & & & & \\ 0 & \frac{\displaystyle l_{(1)(2)}}{\displaystyle 6} & \ddots & \ddots & & & \\ \vdots & & \ddots & \frac{\displaystyle l_{(i-1)(i)}}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 3} & \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 6} & & \vdots\\ & & & \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 6} & \frac{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}{\displaystyle 3} + \frac{\displaystyle l_{(i+1)(i+2)}}{\displaystyle 3} & \ddots & \\ & & & & \ddots & \ddots & \frac{\displaystyle l_{(N-1)(N)}}{\displaystyle 6}\\ 0 & & & \cdots & & \frac{\displaystyle l_{(N-1)(N)}}{\displaystyle 6} & \frac{\displaystyle l_{(N-1)(N)}}{\displaystyle 3} \end{bmatrix}.