Матрица демпфирования 2D

Теперь вычислим матрицу демпфирования для двумерного случая. Матрица демпфирования связана с интегралом квадрата пробной функции. Рассмотрим интеграл для одного треугольника с вершинами $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_{i+2}, y_{i+2})$

Пробная функция на треугольнике имеет вид $\upsilon_{(i)(i+2)}(x, y)$ $= q_i \cdot \phi_i(x, y)$ $+ q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x, y)$ $+ q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}(x, y)$. Примем во внимание (5.9$$\begin{cases} a_{i} + b_{i} \cdot x_i + c_{i} \cdot y_i = 1\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_{i+1} + c_{i} \cdot y_{i+1} = 0\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_{i+2} + c_{i} \cdot y_{i+2} = 0 \end{cases} \begin{cases} a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_i + c_{i+1} \cdot y_i = 0\\ a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_{i+1} + c_{i+1} \cdot y_{i+1} = 1\\ a_{i+1} + b_{i+1} \cdot x_{i+2} + c_{i+1} \cdot y_{i+2} = 0 \end{cases} \begin{cases} a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_i + c_{i+2} \cdot y_i = 0\\ a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_{i+1} + c_{i+2} \cdot y_{i+1} = 0\\ a_{i+2} + b_{i+2} \cdot x_{i+2} + c_{i+2} \cdot y_{i+2} = 1 \end{cases}$$) и (5.10$$\begin{cases} a_{i} = (x_{i+1} \cdot y_{i+2} - x_{i+2} \cdot y_{i+1}) / \det\\ b_{i} = (y_{i+1} - y_{i+2}) / \det\\ c_{i} = (-x_{i+1} + x_{i+2}) / \det \end{cases} \begin{cases} a_{i+1} = ( - x_i \cdot y_{i+2} + x_{i+2} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+1} = (-y_i + y_{i+2}) / \det\\ c_{i+1} = (x_i - x_{i+2}) / \det \end{cases} \begin{cases} a_{i+2} = (x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1} \cdot y_i) / \det\\ b_{i+2} = (y_i - y_{i+1}) / \det\\ c_{i+2} = (-x_i + x_{i+1}) / \det \end{cases}$$) из раздела о функциях «крышек» и запишем соотношения для функций «крышек»

Подставим пробную функцию в (6.24$$\int_{\triangle} \upsilon^2 \,dS.$$)

Раскроем квадрат. Для упрощения вычислений воспользуемся тем, что для линейных функций «крышек» на треугольнике справедливы следующие соотношения

где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, которая вычисляется по формуле (6.9$\displaystyle S_{\triangle}$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle |d|}{\displaystyle 2},$).

Используя эти соотношения и раскрывая квадрат пробной функции, получим

Применим формулы (6.26$\displaystyle \int_{\triangle} \phi_m \cdot \phi_n \,dS$ $\displaystyle = \begin{cases} \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 6}, & m = n\\ \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 12}, & m \neq n \end{cases}$)

Упростим выражение

Введём обозначения для элементов локальной матрицы демпфирования треугольника

Таким образом, локальная матрица демпфирования для треугольного элемента имеет вид

Глобальная матрица демпфирования $\mathbf{C}$ получается путём суммирования вкладов от всех треугольных элементов сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы демпфирования равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.