N. Эллиптические уравнения: сведение к стационарной задаче

Основной текст книги посвящён нестационарному тепловому полю — уравнению параболического типа. Однако те же конечно-элементные построения без каких-либо изменений переносятся на широкий класс эллиптических краевых задач, в которых время либо отсутствует в постановке, либо нас не интересует переходный процесс, а нужно лишь установившееся (стационарное) состояние поля. Это приложение показывает, как такая задача приводится к более простому виду и решается уже рассмотренными методами: сборкой матрицы жёсткости и итерационным решением разреженной симметричной положительно определённой системы.

От параболического уравнения к эллиптическому

Исходное нестационарное уравнение (1.8$\displaystyle \frac{\partial T(M, t)}{\partial t}$ $\displaystyle = a^2 \cdot \Delta T(M, t)$ $\displaystyle + f(M, t),$) имеет вид

Если интересует только установившееся поле, то производная по времени обращается в нуль, $\partial T / \partial t$ $= 0$, и уравнение теряет временную координату, превращаясь в эллиптическое уравнение Пуассона

В частном случае отсутствия источников ($f$ $\equiv 0$) оно вырождается в однородное уравнение Лапласа

Принципиально важно, что искомая функция здесь зависит только от геометрии $M$, но не от времени: задача из эволюционной стала чисто пространственной.

Пример: электростатическое поле

Каноническим эллиптическим уравнением является уравнение электростатики. Потенциал электрического поля $V(M)$ в среде без объёмных зарядов удовлетворяет уравнению Лапласа, а при наличии плотности заряда $\rho$ — уравнению Пуассона

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды $[\text{Ф/м}]$. Сопоставление с (N.1$\displaystyle a^2 \cdot \Delta T(M)$ $\displaystyle + f(M)$ $\displaystyle = 0, \qquad\text{или}\qquad$ $\displaystyle -\Delta T(M)$ $\displaystyle = \frac{1}{a^2}\,f(M).$) показывает полное соответствие вплоть до размерностей: потенциал $V$ $[\text{В}]$ играет роль температуры $T$ $[\text{К}]$, отношение $\rho/\varepsilon$ с плотностью заряда $\rho$ $[\text{Кл/м}^3]$ имеет размерность $[\text{В/м}^2]$ и играет роль плотности источников $f/a^2$ размерности $[\text{К/м}^2]$, а коэффициент $a^2$ заменяется единицей. Следовательно, та же программа, что решает стационарную задачу теплопроводности, без изменений вычисляет и электростатическое поле.

Рассмотрим показательную конфигурацию из трёх проводников — «фаз», — каждый из которых поддерживается при своём напряжении $V_1, V_2, V_3$. Проводники задают на своих границах условие Дирихле $V|_{\partial\Omega_k}$ $= V_k$; внешняя граница расчётной области полагается изолированной, что отвечает однородному условию Неймана $\partial V / \partial n$ $= 0$. Наличие хотя бы одного проводника делает конечно-элементную систему невырожденной, и она решается тем же предобусловленным методом сопряжённых градиентов.

Рассчитанная картина поля показана на рисунке Поле трёх проводников: эквипотенциали и силовые линии образуют взаимно ортогональную сетку; силовые линии выходят из положительной фазы и заканчиваются на отрицательных.