L. Учёт граничных условий Неймана

Граничные условия Неймана учитываются намного проще, чем Дирихле: заданный на границе поток сразу даёт вектор s→\overrightarrow{s} (ненулевой только в граничных узлах), который входит только в правую часть системы — матрицу жёсткости a2Ka^2 K менять не нужно.

Стационарный случай

Для примера с пятью узлами (заданы потоки g0g_0 и g4g_4; источник на крайних симплексах нулевой, F0F_0 =F4= F_4 =0= 0) модифицированный вектор правой части:

P→=F→+a2s→=(a2g0F1F2F3a2g4).\begin{gathered}\overrightarrow{P} = \overrightarrow{F} + a^2 \overrightarrow{s} = \begin{pmatrix} a^2 g_0 \\ F_1 \\ F_2 \\ F_3 \\ a^2 g_4 \end{pmatrix}.\end{gathered}

Нестационарный случай

Для нестационарной задачи оператор — DD +Δt⋅a2K+ \Delta t \cdot a^2 K, а поток входит в правую часть с множителем Δt\Delta t:

[D+Δt⋅a2K]⋅q→n\displaystyle \left[D + \Delta t \cdot a^2 K\right] \cdot \overrightarrow{q}_n =Δt⋅F→\displaystyle = \Delta t \cdot \overrightarrow{F} +D⋅q→n−1\displaystyle + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1} +Δt⋅a2s→.\displaystyle + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s}.

Модифицированный вектор правой части:

P→\displaystyle \overrightarrow{P} =Δt⋅F→\displaystyle = \Delta t \cdot \overrightarrow{F} +D⋅q→n−1\displaystyle + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1} +Δt⋅a2s→\displaystyle + \Delta t \cdot a^2 \overrightarrow{s} =Δt⋅F→\displaystyle = \Delta t \cdot \overrightarrow{F} +D⋅q→n−1\displaystyle + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1} +(Δt⋅a2g0000Δt⋅a2g4).\displaystyle + \begin{pmatrix} \Delta t \cdot a^2 g_0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \Delta t \cdot a^2 g_4 \end{pmatrix}.

Оператор DD +Δt⋅a2K+ \Delta t \cdot a^2 K уже невырожден (матрица демпфирования DD положительно определена, (D+Δt⋅a2K) 1→(D + \Delta t \cdot a^2 K)\,\overrightarrow{1} =D1→= D \overrightarrow{1} ≠0\neq 0), поэтому нестационарная задача Неймана разрешима даже без условий Дирихле.