Вектор нагрузки 2D

Теперь вычислим вектор нагрузки для двумерного случая. Вектор нагрузки связан с интегралом произведения функции источника на пробную функцию. Рассмотрим интеграл для одного треугольника с вершинами $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_{i+2}, y_{i+2})$

Пробная функция на треугольнике имеет вид $\upsilon_{(i)(i+2)}(x, y)$ $= q_i \cdot \phi_i(x, y)$ $+ q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x, y)$ $+ q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}(x, y)$. Для вычисления интеграла необходимо интерполировать функцию источника $f(x, y)$ на треугольнике $\triangle$ линейной функцией. Представим $f(x, y)$ в виде $\widetilde{f}(x, y)$ $= e_1$ $+ e_2 \cdot x$ $+ e_3 \cdot y$. Коэффициенты $e_1, e_2, e_3$ определяются из условий интерполяции в узлах

Поскольку функции «крышки» $\phi_n$ равны единице в своём узле и нулю в остальных, линейный интерполянт функции источника, выраженный через них, принимает вид

где $f_i, f_{i+1}, f_{i+2}$ — значения функции источника в вершинах треугольника.

Подставим интерполированную функцию источника и пробную функцию в (6.40$$\int_{\triangle} f(x, y) \cdot \upsilon \,dS.$$). Примем во внимание (6.25$\displaystyle \phi_i(x, y)$ $\displaystyle = a_i$ $\displaystyle + b_i \cdot x$ $\displaystyle + c_i \cdot y$$\displaystyle \phi_{i+1}(x, y)$ $\displaystyle = a_{i+1}$ $\displaystyle + b_{i+1} \cdot x$ $\displaystyle + c_{i+1} \cdot y$$\displaystyle \phi_{i+2}(x, y)$ $\displaystyle = a_{i+2}$ $\displaystyle + b_{i+2} \cdot x$ $\displaystyle + c_{i+2} \cdot y$) из раздела о функциях «крышек»

где индексы $m$ и $n$ пробегают вершины треугольника $\{i, i$ $+1, i$ $+2\}$.

Воспользуемся соотношениями (6.26$\displaystyle \int_{\triangle} \phi_m \cdot \phi_n \,dS$ $\displaystyle = \begin{cases} \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 6}, & m = n\\ \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 12}, & m \neq n \end{cases}$) для интегралов произведений функций «крышек», выведенными при вычислении матрицы демпфирования, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, которая вычисляется по формуле (6.9$\displaystyle S_{\triangle}$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle |d|}{\displaystyle 2},$). После приведения подобных получаем

Введём обозначения для элементов локального вектора нагрузки треугольника

Таким образом, локальный вектор нагрузки для двумерного треугольного элемента имеет вид

Заметим, что полученный вектор нагрузки совпадает с произведением локальной матрицы демпфирования (6.28$$\begin{aligned}\mathbf{C}_{\triangle} = \begin{bmatrix} c_{(i)(i)} & c_{(i)(i+1)} & c_{(i)(i+2)}\\ c_{(i+1)(i)} & c_{(i+1)(i+1)} & c_{(i+1)(i+2)}\\ c_{(i+2)(i)} & c_{(i+2)(i+1)} & c_{(i+2)(i+2)} \end{bmatrix} = \frac{\displaystyle S_{\triangle}}{\displaystyle 12} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}.\end{aligned}$$) на вектор узловых значений источника, то есть $\mathbf{R}_{\triangle}$ $= \mathbf{C}_{\triangle} \cdot \mathbf{f}$.

Глобальный вектор нагрузки $\mathbf{R}$ получается путём суммирования вкладов от всех треугольных элементов сетки методом сборки: элементы локальных векторов добавляются к соответствующим элементам глобального вектора согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобального вектора нагрузки равна $N$, где $N$ — общее количество узлов сетки. Важно отметить, что для внутренних узлов происходит суммирование вкладов от всех смежных треугольных элементов, содержащих данный узел. Для граничных узлов элементные вклады собираются так же, но при последующем учёте граничных условий соответствующие компоненты системы могут изменяться.