Матрица демпфирования 3D

Перейдём к вычислению матрицы демпфирования для трёхмерного случая. Матрица демпфирования связана с интегралом квадрата пробной функции. Рассмотрим интеграл для одного тетраэдра с вершинами

Пробная функция на тетраэдре имеет вид $\upsilon_{(i)(i+3)}(x, y, z)$ $= q_i \cdot \phi_i$ $+ q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}$ $+ q_{i+2} \cdot \phi_{i+2}$ $+ q_{i+3} \cdot \phi_{i+3}$. Аналогично двумерному случаю, функции «крышек» для тетраэдра имеют линейный вид согласно (6.13$\displaystyle \phi_i(x, y, z)$ $\displaystyle = a_i$ $\displaystyle + b_i \cdot x$ $\displaystyle + c_i \cdot y$ $\displaystyle + d_i \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+1}(x, y, z)$ $\displaystyle = a_{i+1}$ $\displaystyle + b_{i+1} \cdot x$ $\displaystyle + c_{i+1} \cdot y$ $\displaystyle + d_{i+1} \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+2}(x, y, z)$ $\displaystyle = a_{i+2}$ $\displaystyle + b_{i+2} \cdot x$ $\displaystyle + c_{i+2} \cdot y$ $\displaystyle + d_{i+2} \cdot z$$\displaystyle \phi_{i+3}(x, y, z)$ $\displaystyle = a_{i+3}$ $\displaystyle + b_{i+3} \cdot x$ $\displaystyle + c_{i+3} \cdot y$ $\displaystyle + d_{i+3} \cdot z$)

Подставим пробную функцию в (6.29$$\int_{\text{тет}} \upsilon^2 \,dV.$$)

Для линейных функций «крышек» на тетраэдре справедливы следующие соотношения

где $V_{\text{тет}}$ — объём тетраэдра, который вычисляется по формуле (6.15$\displaystyle V_{\text{тет}}$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle |\Delta|}{\displaystyle 6},$).

Раскроем квадрат пробной функции

Применим формулы (6.31$\displaystyle \int_{\text{тет}} \phi_m \cdot \phi_n \,dV$ $\displaystyle = \begin{cases} \frac{\displaystyle V_{\text{тет}}}{\displaystyle 10}, & m = n\\ \frac{\displaystyle V_{\text{тет}}}{\displaystyle 20}, & m \neq n \end{cases}$)

Упростим выражение

Введём обозначения для элементов локальной матрицы демпфирования тетраэдра

Таким образом, локальная матрица демпфирования для тетраэдрального элемента имеет вид

Локальная матрица демпфирования является симметричной. Глобальная матрица демпфирования $\mathbf{C}$ получается путём суммирования вкладов от всех тетраэдральных элементов сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы демпфирования равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.