Матрица жёсткости 1D

Вычислим матрицу жёсткости для одномерного случая. В одномерном пространстве градиент имеет вид $\nabla \upsilon$ $= \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x}$, а скалярное произведение градиента с самим собой равно $\nabla \upsilon \cdot \nabla \upsilon$ $= \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2$. Учитывая, что одномерная расчётная область $M$ разбита на симплексы-отрезки, исследуемую часть функционала для одного отрезка $(x_i, x_{i+1})$ можно записать как

В общем случае пробная функция $\upsilon(x)$ $= \sum_{i=1}^N \upsilon_i(x)$, тогда как на симплексе она имеет вид $\upsilon_{(i)(i+1)}(x)$ $= q_i \cdot \phi_i(x)$ $+ q_{i+1} \cdot \phi_{i+1}(x)$. Примем во внимание (5.7$$\begin{cases} a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_{i-1} = 1\\ a_{i-1} + b_{i-1} \cdot x_i = 0 \end{cases} \begin{cases} a_{i} + b_{i} \cdot x_{i-1} = 0\\ a_{i} + b_{i} \cdot x_i = 1 \end{cases}$$) и (5.8$$\begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases} \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$$) из раздела о функциях «крышек» и запишем соотношения для функций «крышек»

Вычислим производную пробной функции

Заметим, что производная не зависит от $x$ и является константой на отрезке. Подставим (6.3$\displaystyle \frac{\displaystyle \partial \upsilon_{(i)(i+1)}(x)}{\displaystyle \partial x}$ $\displaystyle = q_i \cdot b_i$ $\displaystyle + q_{i+1} \cdot b_{i+1}$) в (6.1$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} \left( \frac{\displaystyle \partial \upsilon}{\displaystyle \partial x} \right)^2 \,dx.$$)

где $l_{(i)(i+1)}$ $= x_{i+1}$ $- x_i$ — длина отрезка.

Раскроем квадрат и перегруппируем члены

Примем во внимание формулы из (5.8$$\begin{cases} a_{i-1} = \frac{\displaystyle -x_i}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i-1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases} \begin{cases} a_{i} = \frac{\displaystyle x_{i-1}}{\displaystyle x_{i-1} - x_i}\\ b_{i} = \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle x_{i-1} - x_i} \end{cases}$$) для коэффициентов $b$ и введём обозначения для элементов локальной матрицы жёсткости отрезка

Таким образом, локальная матрица жёсткости для одномерного элемента имеет вид

Глобальная матрица жёсткости $\mathbf{K}$ получается путём суммирования вкладов от всех отрезков сетки методом сборки: элементы локальных матриц добавляются к соответствующим элементам глобальной матрицы согласно глобальной нумерации узлов. Размерность глобальной матрицы жёсткости равна $N \times N$, где $N$ — общее количество узлов сетки.

Например, рассмотрим сетку с узлами $0, 1, \ldots, i, i$ $+1, \ldots, N$. При сборке каждый отрезок $(j)(j+1)$ вносит вклад $\pm \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(j)(j+1)}}$, причём внутренний узел $i$ получает вклад сразу от двух смежных отрезков — $(i-1)(i)$ и $(i)(i+1)$, — поэтому на главной диагонали стоит сумма $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(i-1)(i)}}$ $+ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l_{(i)(i+1)}}$. Поскольку длина $l_{(j)(j+1)}$ зависит от номера отрезка, её нельзя вынести как общий множитель — каждый элемент глобальной матрицы хранит длину своего отрезка. В результате матрица получается трёхдиагональной