K. Учёт граничных условий Дирихле

Существует простой и распространённый метод учёта условий Дирихле — прямая подстановка известных граничных значений в систему (его называют методом зачёркивания строки и столбца). Пусть для узла $i$ задано граничное условие $q_i$​${} = g_i$, где $g_i$ — известное граничное значение. Тогда над системой $A \overrightarrow{q}$​${} = \overrightarrow{P}$ выполняем следующие операции:

1. Модификация правой части: Для всех строк $j$​${} \neq i$ вычитаем из правой части вклад известного значения $q_i$: $p_j :$​${} = p_j$​${} - A_{ji} \cdot g_i$.
2. Обнуление строки и столбца: Заменяем $i$-ю строку и $i$-й столбец матрицы $A$ нулями, за исключением диагонального элемента: $A_{ij} :$​${} = 0, \quad A_{ji} :$​${} = 0, \quad j$​${} \neq i$.
3. Установка диагонального элемента: Устанавливаем диагональный элемент равным единице: $A_{ii} :$​${} = 1$.
4. Установка граничного значения: Заменяем $i$-й элемент вектора правой части на граничное значение: $p_i :$​${} = g_i$.

После этих операций $i$-е уравнение системы принимает вид $1 \cdot q_i$​${} = g_i$, что гарантирует выполнение граничного условия.

Вернёмся к нашему одномерному примеру с пятью узлами $q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$. Предположим, что на границах заданы условия Дирихле:

Стационарный случай

Исходная система имеет вид:

Матрица $a^2 K$ — полная (симметричная, трёхдиагональная); граничные условия учитываются заменой граничных строк.

Обозначим $A$​${} = a^2 K$ и $\overrightarrow{P}$​${} = \overrightarrow{F}$. Применим прямой метод для узлов $q_0$ и $q_4$.

Шаг 1: Модификация правой части для внутренних узлов

Для узла $q_1$ (индекс 1):

Для узла $q_3$ (индекс 3):

Шаги 2–4: Модификация матрицы и правой части для граничных узлов

Для узла $q_0$ (индекс 0):

• Обнуляем первую строку: $A_{01} :$​${} = 0$
• Обнуляем первый столбец: $A_{10} :$​${} = 0$
• Устанавливаем диагональ: $A_{00} :$​${} = 1$
• Устанавливаем правую часть: $p_0 :$​${} = g_0$

Для узла $q_4$ (индекс 4):

• Обнуляем последнюю строку: $A_{43} :$​${} = 0$
• Обнуляем последний столбец: $A_{34} :$​${} = 0$
• Устанавливаем диагональ: $A_{44} :$​${} = 1$
• Устанавливаем правую часть: $p_4 :$​${} = g_4$

В матрице $a^2 K$ граничные строки и столбцы (узлы $q_0$ и $q_4$) обнуляются, на диагонали ставится единица; известные значения переносятся в правую часть.

Модифицированный вектор правой части:

Примечание: поскольку функция плотности источников тождественно равна нулю на симплексах $s_1$ и $s_4$, имеем $F_0$​${} = 0$ и $F_4$​${} = 0$. Однако компоненты $F_1, F_2, F_3$ могут быть ненулевыми.

Нестационарный случай

Для нестационарного случая система имеет вид:

Обозначим $A$​${} = D$​${} + \Delta t \cdot a^2 K$ и $\overrightarrow{P}$​${} = \Delta t \cdot \overrightarrow{F}$​${} + D \cdot \overrightarrow{q}_{n-1}$. Применяем тот же прямой метод.

Модификация правой части для внутренних узлов

Для узла $q_1$:

Для узла $q_3$:

Как и в стационарном случае, граничные строки и столбцы матрицы $D$​${} + \Delta t\, a^2 K$ обнуляются, на диагонали ставится единица, а $q_0$​${} = g_0$ и $q_4$​${} = g_4$ уходят в правую часть.