Симплексы — Метод конечных элементов

Прежде чем описывать решение, область, на которой оно ищется, нужно разбить на простейшие непересекающиеся элементы — симплексы. Способы такого разбиения подробно разобраны в главе «Разбиение геометрии на симплексы», поэтому здесь лишь кратко напомним результат, на который будем опираться дальше.

В одномерном случае симплексом служит отрезок. Интервал $l$ , на котором ищется решение, разбивается на $n$ симплексов-отрезков $s_i, \; i$ $\in (1..n)$ ; в отличие от метода конечных разностей их длины могут быть разными. Построение таких отрезков описано в разделе «Сегментация». Пример приведён на рисунке Симплексы-отрезки: длина симплекса $s_2$ равна $x_2$ $- x_1$ .

Неравномерные одномерные симплексы-отрезки s₁…sₙ — **Рис. 5.1.** Одномерные симплексы-отрезки $s_1, \ldots, s_n$ ; их длины могут быть разными.

В двумерном случае симплексом выбран треугольник. Область $S$ разбивается на $n$ непересекающихся треугольников $t_i, \; i$ $\in (1..n)$ с помощью триангуляции Делоне с ограничениями — этому посвящён раздел «Триангуляция». Пример показан на рисунке Симплексы-треугольники.

Триангуляция выпуклой круговой области — **Рис. 5.2.** Выпуклая область, покрытая непересекающимися треугольниками-симплексами (реальная триангуляция); один симплекс выделен.

В трёхмерном случае симплексом является тетраэдр. Область $V$ разбивается на $n$ непересекающихся тетраэдров $t_i, \; i$ $\in (1..n)$ ; соответствующая процедура обсуждается в разделе «Тетраэдризация». Минимальный симплекс и его сосед по общей грани показаны на рисунке Симплексы-тетраэдры.

Рис. 5.3. Тетраэдрический симплекс на вершинах

p_1, \ldots, p_4

и его сосед по общей грани (серый).

После того как область разбита на симплексы, на каждом из них нужно описать решение $\upsilon_h$ .