Тепловое поле 1D, Дирихле

Пример: нестационарная задача Дирихле

Рассмотрим конкретный пример нестационарной задачи Дирихле. Возьмём стержень на отрезке [α,β][\alpha, \beta] =[0,1]= [0, 1] с температуропроводностью a2a^2 =0,05= 0{,}05. Изначально стержень холодный, а температура на концах не задана сразу, а растёт во времени: концы линейно прогреваются от нуля до 2020 и 8080 соответственно за первые 5 секунд, после чего удерживаются. Внутри стержня поместим точечный источник тепла f(x)f(x) =P⋅δ(x−x0)= P \cdot \delta(x - x_0) мощностью PP =10= 10 в точке x0x_0 =0,35= 0{,}35. Постановка задачи

∂T(x,t)∂t\displaystyle \frac{\displaystyle \partial T(x, t)}{\displaystyle \partial t} =a2⋅∂2T(x,t)∂x2\displaystyle = a^2 \cdot \frac{\displaystyle \partial^2 T(x, t)}{\displaystyle \partial x^2} +P⋅δ(x−x0),\displaystyle + P \cdot \delta(x - x_0),T(x,0)\displaystyle T(x, 0) =0,\displaystyle = 0,T(α,t)\displaystyle T(\alpha, t) =φα(t),\displaystyle = \varphi_\alpha(t),T(β,t)\displaystyle T(\beta, t) =φβ(t),\displaystyle = \varphi_\beta(t),
(7.1)

где температуры на концах зависят от времени

φα(t)\displaystyle \varphi_\alpha(t) ={4t,0≤t≤5,20,t>5,φβ(t)\displaystyle = \begin{cases} 4t, & 0 \le t \le 5,\\ 20, & t > 5, \end{cases} \qquad \varphi_\beta(t) ={16t,0≤t≤5,80,t>5.\displaystyle = \begin{cases} 16t, & 0 \le t \le 5,\\ 80, & t > 5. \end{cases}
Рис. 7.1. Нестационарная задача Дирихле: прогрев стержня во времени. Синяя кривая — профиль температуры T(x,t)T(x, t), оранжевая отметка — точечный источник.